Чорнова сторінка

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Нехай відбувся деякий процес, у ході якого було утворено нейтрино.

Початковий стан - нейтрино сорту \ \alpha:

\ |\Psi_{\alpha}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\alpha m}|m\rangle , \quad \hat {u}^{+}\hat {u} = 1.

Масові стани є власними функціями гамільтоніану. Тоді для довільного моменту часу

\ |\Psi (x, t)\rangle = \sum_{m = 1}^{2}u_{\alpha m} | m\rangle e^{ip_{m}x - iE_{m}t}.

Нехай розглядається координата \ x = L. Це означає, що для двох хвиль, які відповідають частинкам з масами \ m_{1,2} відповідний час \ t буде рівен \ t = \frac{x}{v_{gr.}} = \frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}}.

Нейтрино сорту \ \beta:

\ |\Psi_{\beta}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\beta m}|m\rangle.

Тоді ймовірність знайти нейтрино сорту \ \beta на відстані \ x = L буде рівна

\ W_{\alpha \to \beta}(L, m, p) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{iL (p_{x} - p_{x'}) - i\frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}} (E_{m} - E_{m'})} \qquad (1).

Нехай імпульси, що відповідають двом масовим станам, однакові. Таке припущення може бути використане, якщо відшукати таку систему відліку, у якій імпульси однакові. Тоді, прийнявши також, що \ m_{1,2} << |p|, для такої системи відліку можна зробити перетворення:

\ E_{m} \approx p + \frac{M_{m}}{2p^2}, \quad t (x = L) \approx L + \frac{M_{1}^2 + M_{2}^{2} }{2p^{2}} \approx L, \quad E_{m} - E_{m'} \approx \frac{M_{m}^{2} - M_{m'}^{2}}{2p} = \frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}.

В результаті \ (1) набуде вигляду

\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{-iL\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}} = \sum_{m = 1}^{2}|u_{\alpha m}|^{2}|u_{\beta m}|^{2} + \sum_{m \neq m'}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}\right) \qquad (2).

У "кольоровому" базисі матриця мас має вигляд

\ \hat {m} = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}, де всі коефіцієнти є дійсними.

Її можна діагоналізувати за допомогою унітарного перетворення \ \Psi_{m} = \hat {U}\Psi_{f}, причому єдиний можливий вигляд такої матриці -

\ \hat {U} = \begin{pmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{pmatrix}.

Тоді "массовий" член лагранжіану може бути перетворений як

\ \bar {\Psi}_{f}\hat {m} \Psi_{f} = \bar {\Psi }_{m} \hat {U}^{+} \hat {m} \hat {U} \Psi_{m} = \bar {\Psi }_{m} \hat {M} \Psi_{m},

де

\ \hat {M} = \begin{pmatrix} m_{11}c^{2} + m_{22}s^{2} + 2m_{12}cs & m_{12}(c^2 - s^2) - sc(m_{11} - m_{22}) \\ m_{12}(c^2 - s^2) - sc(m_{11} - m_{22}) & m_{22}c^{2} + m_{11}s^{2} - 2m_{12}cs \end{pmatrix}, \quad c = cos(\theta ) , \quad s = sin(\theta ).

Недіагональні елементи зануляються, коли

\ ctg(2 \theta ) = \frac{1}{2}\frac{m_{11} - m_{22}}{m_{12}}.

Нарешті, враховуючи явний вигляд матриці \ \hat {u}, можна отримати з \ (2)

\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = 1 - \frac{1}{2}sin^{2}(2 \theta )cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})}{2p}\right).\ \ \ \ \


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי