Рівняння Паулі-Фірца. Зв'язок із лінеаризованою ЗТВ

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Повернутися до розділу "Спін 2".

Зміст

[ред.] Рівняння Паулі-Фірца

В силу існування операторів  \Delta^{a}_{ \quad \dot b} та обернених до них (див. підрозділ "Рівняння поля для заданого спіну") можна не розглядати усі можливі представлення, а зупинитись на одному з них. Наприклад, можна вибрати представлення (1,1), якому відповідає симетричний тензор  h_{ab \dot {a} \dot {b}}. Для нього повинні виконуються умови незвідності, що відповідають незвідному унітарному представленню групи Пуанкаре:

 (\square + m) h_{ab \dot {a} \dot {b}} = 0 , \quad \partial^{a \dot {a}}h_{a b \dot {a} \dot {b}} = 0.

Відповідне векторне представлення має вигляд (див. розділ "Спінорний тензор. Зв'язок векторного та спінорного представлень")

 h_{\mu \nu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {a} a}(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {b }b}h_{ab \dot {a} \dot {b}}.

Слід даного тензора рівен нулю:

 h = g^{\mu \nu}h_{\mu \nu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {a} a}(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {b }b}h_{ab \dot {a} \dot {b}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{a b} \varepsilon^{\dot {a} \dot {b}}h_{ab \dot {a} \dot {b}} = 0,

де використана властивість (див. підрозділ "Спінорні генератори групи та їх алгебра" статті "КТП. Спінорний формалізм")

 (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {a} a}(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {b }b} = 2 \varepsilon^{a b}\varepsilon^{\dot {a} \dot {b}}.

Внаслідок незалежності підсумовування по спінорним індексам матриць Паулі та симетричності тензора  h_{ab \dot {a }\dot {b}} відповідне векторне представлення буде симетричним

 h_{\mu \nu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {a} a}(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {b }b}h_{ab \dot {a} \dot {b}} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {a} a}(\tilde \sigma_{\mu})^{\dot {b }b}h_{ab \dot {a} \dot {b}} = h_{\nu \mu}.

Умова  \partial^{a \dot {a}}h_{a b \dot {a} \dot {b}} може бути переписана як

 \partial^{a \dot {a}} \to \partial^{\mu} \Rightarrow \partial^{\mu}h_{\mu \nu} = 0.

Отже, незвідне векторне представлення поля (1,1) набуде вигляду

 (\square + m^{2})h_{\mu \nu} = 0 , \quad \partial^{\mu}h_{\mu \nu} = 0, \quad h = 0.

Така умова залишає п'ять незвідних компонент, як і повинно бути. Дійсно, умова  \partial_{\mu}h^{\mu \nu} для кожного індексу ν накладає по одній умові, умова h = 0 накладає ще одну умову, а симетричність зменшує кількість незалежних компонент ще на шість. Отже, із шістнадцяти компонент залишається п'ять.

Можна побудувати рівняння поля, диференціальними наслідками якого буде незвідність представлення \ h_{\mu \nu}. В силу міркувань про лінійність рівняння та наявність похідних не вище ніж другого порядку рівняння може бути сконструйоване лише з наступних величин:

\ c_{1}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h ,\quad c_{2} g_{\mu \nu}(\partial^{2} + \gamma m^2)h , \quad c_{3}(\partial_{\mu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \nu} + \partial_{\nu}\partial^{\alpha}h_{\alpha \mu}), \quad c_{4}g_{\mu \nu}\partial^{\alpha }\partial^{\beta }h_{\alpha \beta}, \quad c_{5}(\square + m^{2})h_{\mu \nu}.

Перепозначивши всі константи як \ c_{i} \to \frac{c_{i}}{c_{5}}, можна записати рівняння

\ c_{1}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h + c_{2} g_{\mu \nu}(\partial^{2} + \gamma m^2)h + c_{3}(\partial_{\mu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \nu} + \partial_{\nu}\partial^{\alpha}h_{\alpha \mu}) + c_{4}g_{\mu \nu}\partial^{\alpha }\partial^{\beta }h_{\alpha \beta} + (\square + m^{2})h_{\mu \nu} = 0.

На першому етапі можна подіяти диференціальним оператором  \partial^{\mu }\partial^{\nu} на рівняння, провівши, таким чином, згортку по індексам. Тоді

 c_{1}\partial^{2}\partial^{2}h + c_{2}\partial^{2}(\partial^{2} + \gamma m^{2})h + 2c_{3}\partial^{2}\partial^{\mu }\partial^{\alpha }h_{\mu \alpha} + c_{4}\partial^{2}\partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\mu \nu} + (\partial^{2} + m^{2})\partial^{\mu }\partial^{\nu}h_{\mu \nu} = 0.

Оскільки це рівняння також є рівнянням поля, то можна вимагати відсутність старших похідних (четвертого порядку). Тоді (розглядається лише масивне поле)

 c_{1} + c_{2} = 0 , \quad c_{4} + 2c_{3} + 1 = 0 \Rightarrow c_{2} \gamma \partial^{2}h = -\partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\mu \nu }.

На другому етапі можна подіяти оператором  \partial^{\mu} на початкове рівняння, провівши згортку по відповідному індексу. Тоді

 c_{1}\partial^{2}\partial_{\nu}h + c_{2}\partial_{\nu}(\partial^{2} + m^{2})h + c_{3}(\partial^{2}\partial^{\alpha }h_{\nu \alpha} + \partial_{\nu}\partial^{\alpha}\partial^{\mu}h_{\mu \alpha}) + c_{4}\partial_{\nu}\partial^{\alpha}\partial^{\beta}h_{\alpha \beta } + (\partial^{2} + m^{2})\partial^{\mu}h_{\mu \nu} =

 = (\partial^{2} + m^{2})\partial^{\mu}h_{\mu \nu} + c_{3}\partial^{2}\partial^{\alpha}h_{\alpha \nu} + (c_{1} + c_{2})\partial^{2}\partial_{\nu}h + c_{2}\gamma^{2}h + c_{3}\partial_{\nu}\partial^{\alpha} \partial^{\mu}h_{\alpha \mu} + c_{4}\partial_{\nu}\partial^{\alpha }\partial^{\beta }h_{\alpha \beta} = 0.

Використовуючи наслідки етапу 1 та, знову, керуючись міркуваннями відсутності старших похідних у рівнянні, можна отримати рівняння

 c_{3} + c_{4} = 0 , \quad c_{3} + 1 = 0 \Rightarrow c_{3 } = -1, \quad c_{4} = 1,

що узгоджується із рівняннями першого етапу.

Нарешті, на третьому етапі, можна переписати рівняння з урахуванням отриманих констант та зв'язків між ними,

 c_{1}\partial_{\mu }\partial_{\nu} - c_{1}g_{\mu \nu}(\partial^{2} + \gamma m^{2})h - (\partial_{\mu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \nu} + \partial_{\mu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \nu}) + g_{\mu \nu}\partial^{\alpha} \partial^{\beta}h_{\alpha \beta} + (\partial^{2} + m^{2})h_{\mu \nu} = 0 ,

та згорнути його з метричним тензором по двом індексам:

 c_{1}\partial^{2}h - 4c_{1}(\partial^{2} + \gamma m^{2})h - 2\partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\mu \nu} + 4 \partial^{\mu} \partial^{\nu}h_{\mu \nu} + (\partial^{2} + m^{2})h = \left| \partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\mu \nu } = -c_{2} \gamma \partial^{2}h \right| =

 = (-3c_{1} + 1 + 2c_{1}\gamma )\partial^{2}h + m^{2}(1 - 4c_{1}\gamma )h = 0 \Rightarrow -3c_{1} + 1 + 2c_{1}\gamma = 0 \Rightarrow c_{1} = \frac{1}{3 - 2\gamma}.

Якщо γ = 1 (чисто формальний вибір), то  c_{1} = 1, \quad c_{2} = -1, і останнє рівняння набуде вигляду

h = 0.

Звідси умова  \partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\mu \nu } = -c_{2} \gamma \partial^{2}h набуде вигляду

 \partial^{\nu}h_{\mu \nu } = 0,

а початкове рівняння, з урахуванням цих диференціальних наслідків, набуде вигляду рівняння Клейна-Гордона. Таким чином, умову незвідності тензорного представлення поля спіну 2 реалізує рівняння

 \partial_{\mu }\partial_{\nu}h - g_{\mu \nu}(\partial^{2} + m^{2})h - (\partial_{\mu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \nu} + \partial_{\nu}\partial^{\alpha }h_{\alpha \mu}) + g_{\mu \nu}\partial^{\alpha} \partial^{\beta}h_{\alpha \beta} + (\partial^{2} + m^{2})h_{\mu \nu} = 0 \qquad (1),

яке називається рівнянням Паулі-Фірца. Варто зазначити, що константи знаходилися з алгебраїчних міркувань, коли похідні по полю різних порядків і вигляду чисто формально відповідали незалежним величинам.

[ред.] Безмасове поле

[ред.] Отримання рівнянь поля через незвідні безмасові представлення

Як слідує із відповідного формалізму, рівняння на поле спіральності 2, -2 мають, відповідно, вигляд

\ \partial^{\dot {b}a}C_{abcd} = 0, \quad \partial^{\dot {b}a}C_{\dot{a}\dot{b}\dot{c}\dot{d}} = 0 \qquad (2).

Нас цікавить поле, що є інваріантним відносно дискретних симетрій групи Лоренца, тому треба взяти пряму суму цих двох представлень. Можна показати, що із полів \ C_{abcd}, C_{\dot{a}\dot{b}\dot{c}\dot{d}} можна побудувати об'єкт

\ C_{\alpha \beta \gamma \delta} = (\tilde{\sigma}_{\alpha})^{\dot {a} a}(\tilde{\sigma}_{\beta})^{\dot {b} b}(\tilde{\sigma}_{\gamma})^{\dot {c} c}(\tilde{\sigma}_{\delta})^{\dot {d} d}(\varepsilon_{ab}\varepsilon_{cd}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} \varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}C_{abcd}) \qquad (3),

для якого виконуються співвідношення

\ C_{\alpha \beta \gamma \delta} = -C_{\beta \alpha \gamma \delta} = -C_{\alpha \beta \delta \gamma} = C_{\beta \alpha \delta \gamma} ,\quad C^{\alpha}_{\ \beta \alpha \delta} = 0, \quad \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}C_{\alpha \beta \gamma \delta} = 0 \qquad (4).

Доведемо це.

1. \ C_{\alpha \beta \gamma \delta} = -C_{\beta \alpha \gamma \delta}.

Перестановка індексів \ \alpha , \beta у \ (3) еквівалентна перестановці \ \dot{a}, \dot{b}, a, b неточкових та точкових індексів у виразі \ \varepsilon_{ab}\varepsilon_{cd}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} \varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}C_{abcd}. А він містить тензори \ \varepsilon_{ab}, \varepsilon_{\dot {a} \dot{b}}, які є антисиметричними за такими перестановками.

2. \ \quad C^{\alpha}_{\ \beta \alpha \delta} = 0.

Маємо

\ C^{\alpha}_{\ \beta \alpha \delta} = (\tilde{\sigma}^{\alpha})^{\dot {a} a}(\tilde{\sigma}_{\beta})^{\dot {b} b}(\tilde{\sigma}_{\alpha})^{\dot {c} c}(\tilde{\sigma}_{\delta})^{\dot {d} d}(\varepsilon_{ab}\varepsilon_{cd}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} \varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}C_{abcd}) = 0,

оскільки (див. останню властивість і зв'язок \ \tilde{\sigma}^{\dot {a}a} = \varepsilon^{ac}\varepsilon^{\dot{a}\dot{c}}\sigma_{c\dot{c}}) виконується рівність \ (\tilde{\sigma}^{\mu})^{\dot{c}c}(\sigma_{\mu})_{a \dot{a}} = 2\delta^{\dot{c}}_{\dot{a}}\delta^{c}_{a}, яка при піднятті індексів дає \ 2\varepsilon^{\dot {a} \dot{c}}\varepsilon^{ac}. А ці тензори при згортці з симетричними \ C_{abcd}, C_{\dot{a}\dot{b}\dot{c}\dot{d}} дають нуль. Варто зазначити, що якшо б я вирішив обчислити \ C^{\alpha}_{\ \alpha \gamma \delta}, то нуль би не отримав, що видно із структури \ (2).

3. Ця рівність видна із того, що згортка \ \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}(\tilde{\sigma}_{\alpha})^{\dot {a} a}(\tilde{\sigma}_{\beta})^{\dot {b} b}(\tilde{\sigma}_{\gamma})^{\dot {c} c}(\tilde{\sigma}_{\delta})^{\dot {d} d} як коваріантний спінорний тензор може містити лише всеможливі добутки

\ \sum_{n,a}c_{n}\varepsilon^{a_{n_{1}}a_{n_{2}}}\varepsilon^{a_{n_{3}}a_{n_{4}}}\varepsilon^{\dot{a}_{n_{1}}\dot{a}_{n_{2}}}\varepsilon^{\dot{a}_{n_{3}}\dot{a}_{n_{4}}},

а такі згортки із \ \varepsilon_{ab}\varepsilon_{cd}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} \varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}C_{abcd} завжди дадуть нуль.

Отже, тепер залишається, як і у випадку із електромагнітним полем, отримати якесь рівняння на \ (3) із урахуванням \ (2). Для цього утворимо об'єкт

\ \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}\partial_{\nu}C_{\epsilon \delta \alpha \beta} = (\tilde {\sigma}_{\epsilon})^{\dot {a}a}(\tilde {\sigma}_{\delta})^{\dot {b}b}\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot{c}c}(\tilde {\sigma}_{\beta})^{\dot{d}d}\partial_{\nu}(\varepsilon_{ab}\varepsilon_{cd}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} \varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}C_{abcd}) =

\ = (\tilde {\sigma}_{\epsilon})^{\dot {a}a}(\tilde {\sigma}_{\delta})^{\dot {b}b}\left(\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}(\tilde {\sigma}_{\alpha}\sigma_{\beta})^{\dot{c}\dot{d}}\partial_{\nu}\varepsilon_{ab}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} + \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}(\sigma_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta})^{cd}\partial_{\nu}\varepsilon_{\dot {a} \dot {b}}C_{abcd} \right) \qquad (5).

Розкладемо \ (\tilde {\sigma}_{\alpha}\sigma_{\beta})^{\dot{c}\dot{d}}, (\sigma_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta})^{cd} на симетричну і антисиметричну частину, використовуючи третю рівність тут і властивості тензора \ \sigma_{\mu \nu}, \tilde{\sigma}_{\mu \nu}:

\ (\tilde {\sigma}_{\alpha}\sigma_{\beta})^{\dot{c}\dot{d}} = g_{\alpha \beta}\varepsilon^{\dot{c}\dot{d}} - 2i(\tilde{\sigma}_{\alpha \beta})^{\dot{c}\dot{d}}, \quad (\sigma_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta})^{cd} = g_{\alpha \beta} - 2i(\sigma_{\alpha \beta} )^{cd} \qquad (6).

Тут надалі \ g_{\alpha \beta} можна опустити, оскільки йде згортка з символом Леві-Чивіта. Розглянемо тепер окремо перший і другий доданок \ (5), для компактизації "опустивши" \ (\tilde {\sigma}_{\epsilon})^{\dot {a}a}(\tilde {\sigma}_{\delta})^{\dot {b}b} і врахувавши \ (6), а також - властивість 1:

\ \varepsilon_{ab}\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde {\sigma}_{\alpha}\sigma_{\beta})^{\dot{c}\dot{d}}\partial_{\nu}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} = -2i\varepsilon_{ab} (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde{\sigma}_{\alpha \beta})^{\dot{c}\dot{d}}\partial_{\nu}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} = \left|\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\tilde{\sigma}_{\alpha \beta})^{\dot{c}\dot{d}} = 2i (\tilde{\sigma}^{\mu \nu})^{\dot{c}\dot{d}}\right| = 4\varepsilon_{ab}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}(\tilde{\sigma}^{\mu \nu} )^{\dot{c}\dot{d}}\partial_{\nu}C_{\dot{a}\dot{b}\dot{c}\dot{d}} =

\ = \left|4(\tilde{\sigma}_{\mu \nu})^{\dot{c}\dot{d}} = -i((\tilde{\sigma}^{\mu}))^{\dot{c}a}(\sigma^{\nu})_{a}^{\ \dot{d}} - (\tilde{\sigma}^{\nu}))^{\dot{c}a}(\sigma^{\mu})_{a}^{\ \dot{d}})\right| = i\varepsilon_{ab}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}((\tilde{\sigma}^{\mu}))^{\dot{c}a}(\sigma^{\nu})_{a}^{\ \dot{d}} - (\tilde{\sigma}^{\nu}))^{\dot{c}a}(\sigma^{\mu})_{a}^{\ \dot{d}})\partial_{\nu}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} =

\ = |(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot{k}k}(\tilde{\sigma}^{\mu}))^{\dot{c}a} = 2\varepsilon^{\dot{k}\dot{c}}\varepsilon^{ka}| = 2i\varepsilon_{ab}(\varepsilon^{\dot{k}\dot{c}}\varepsilon^{ka}(\sigma ^{\nu})_{a}^{\ \dot {d}} - 2(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot{c}a}\varepsilon^{\dot{k}\dot{d}}\delta^{k}_{a})\partial_{\nu}C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} = 2i\varepsilon_{ab}(\varepsilon^{\dot{k}\dot{c}}\partial^{\dot{d}k} -\varepsilon^{\dot{k}\dot{d}}\partial^{\dot{c}a})C_{\dot {a} \dot {b} \dot {c} \dot {d}} = 0

в силу другої рівності \ (2). Аналогічно (з точністю до заміни \ \tilde{\sigma}_{\alpha \beta} \to \sigma_{\alpha \beta}), в силу першої рівності \ (2) зануляється другий доданок.

Отже, справедливе рівняння

\ \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\nu}C_{\epsilon \delta \alpha \beta} = 0 \Rightarrow \partial_{\nu}C_{\epsilon \delta \alpha \beta} + \partial_{\beta}C_{\epsilon \delta \nu \alpha} + \partial_{\alpha}C_{\epsilon \delta \beta \nu} = 0 \qquad (7).

Воно називається другою тотожністю Б'янкі. Вкупі з \ (3), рівність (7) "ідентифікує" тензор Вейля.

Отже, видно, що безмасове поле спіральності 2 відповідає за лінеаризоване гравітаційне поле.

[ред.] Перехід від масивного представлення до безмасового

У розділі про рівняння поля спіну 2 показано, що за умови \ m = 0 рівняння \ (1) повністю відповідає випадку теорії \ (3.1) для вільного гравітаційного поля \ T_{\mu \nu} = 0. У тому ж розділі побудований розв'язок рівняння і показано, що, як і повинно бути для калібрувальної теорії безмасового поля, у тензора \ h_{\mu \nu} залишається лише дві незалежні компоненти в силу того, що рівняння Клейна-Гордона стає безмасовим, і всі умови (поперечність, безслідовість тощо) допускають калібрувальні перетворення.

Абсолютно аналогічно можна перейти до тензора \ h_{\mu \nu}, стартувавши з рівностей \ (7).

Законність такого переходу буде аналізуватися у наступному розділі.

[ред.] Деякі окремі питання

Поле спіну 2 буде розглядатися в подальшому лише в контексті доведення принципу еквівалентності в рамках КТП, тому у даному розділі будуть зібрані основні загальні відомості щодо нього, отримані за допомогою розділу про теорію розсіяння.

[ред.] Перенормовність

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

[ред.] Сума по поляризаціях

Утворимо суму по поляризаціях для масивного поля спіну 2

\ F_{\mu \nu \alpha \beta} = \sum_{\lambda}\varepsilon_{\mu \nu}(p)\varepsilon^{*}_{\alpha \beta}(p) \qquad (8).

Врахуємо, що в силу умов незвідності виконуються рівності

\ p^{\mu}\varepsilon_{\mu \nu}(p) = 0, \quad \varepsilon^{\mu}_{\ \mu}(p) = 0, \quad \varepsilon_{\mu \nu} = \varepsilon_{\nu \mu} \Rightarrow F^{\mu}_{\ \nu \alpha \beta} = 0, \quad p^{\mu}F_{\mu \nu \alpha \beta} = 0, \quad F_{\mu \nu \alpha \beta} = F_{\alpha \beta \mu \nu}.

Подамо загальний вигляд \ (8) із урахуванням третьої умови як

\ F_{\mu \nu \alpha \beta} = Ag_{\mu \nu}g_{\alpha \beta} + B(g_{\mu \alpha}g_{\nu \beta} + g_{\mu \beta}g_{\nu \alpha}) + Cp_{\mu}p_{\nu}p_{\alpha}p_{\beta} + D(g_{\mu \nu}p_{\alpha} p_{\beta} + g_{\alpha \beta}p_{\nu}p_{\nu}) + F(p_{\mu}p_{\alpha}g_{\nu \beta} + p_{\mu}p_{\beta}g_{\nu \alpha} + p_{\nu} p_{\alpha} g_{\mu \beta} + p_{\nu}p_{\beta}g_{\mu \alpha}).

Перша та друга умови дають (прирівнюються коефіцієнти при однакових тензорах)

\ m^{2}C + D + 2F = 0, \quad A +m^{2}D = 0, \quad B + m^{2}F = 0, \quad 4A + 2B + m^{2}D =0, \quad m^{2}C + 4D + 4F = 0.

Звідси отримуємо

\ A = -\frac{2}{3}B, \quad C = \frac{4}{3m^{4}}B, D = \frac{2}{3m^{2}}B, \quad F = -\frac{1}{m^{2}}B \qquad(9).

Записавши \ C як \ \frac{2}{m^{4}}B - \frac{2}{3m^{4}}B, нескладно побачити, що за умови \ (9) вираз \ (8) може бути записаний як

\ F_{\mu \nu \alpha \beta} = B\left( -\frac{2}{3}D_{\mu \nu}D_{\alpha \beta} + D_{\mu \alpha}D_{\nu \beta} + D_{\mu \beta}D_{\nu \alpha}\right), \quad D_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}}.

В силу калібрувальної інваріантності поля на рівні матричних елементів (доводиться схоже до випадку ЕМ поля), \ p^{\mu}M_{\mu \nu} = 0, для безмасового поля можна замінити \ G_{\mu \nu} \to g_{\mu \nu}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי