Представлення та алгебра групи

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Групи \ SU(n) складаються з набору квадратних матриць рангу \ n, які є унітарними, \ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} =\hat {\mathbf E}, та мають одиничний визначник, \ det \hat {\mathbf U} = 1.

Внаслідок цього зберігається норма відповідного \ n-компонентного комплексного вектора \ \mathbf z, який перетворюється як \ \mathbf z{'} = \hat {\mathbf U}\mathbf z. Дійсно, для скалярного добутку в унітарних просторах

\ \mathbf z^{+}\mathbf z = (\hat {\mathbf U}\mathbf z )^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\mathbf z = inv.

Можна розкласти матрицю в ряд в околі одиничного перетворення:

\ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A }.

Матриця \ \hat {\mathbf A} повинна бути антиермітовою та безслідовою. Дійсно,

\ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} \approx \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} \right) \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}\right) \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} + \hat {\mathbf A} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow \hat {\mathbf A}^{+} = -\hat {\mathbf A},

\ det \left(\hat {\mathbf U}\right) \approx det (\hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}) \approx 1 + tr (\hat {\mathbf A}) = 1 \Rightarrow tr (\hat {\mathbf A}) = 0.

Кількість незалежних параметрів такої матриці рівна \ n^{2} - 1. Дійсно, як комплексна матриця рангу \ n вона має \ 2n^{2} незалежних компонент. Антиермітовість матриці дає умовою рівність нулю дійсних частин кожної діагональної компоненти, \ A^{*}_{ii} = -A_{ii} \Rightarrow Re(A_{ii}) = 0, що відповідає \ n незалежним умовам на компоненти, та \ n^2 - n умов на недіагональні елементи. Безслідовість накладає ще одну умову. Тому кількість незалежних умов складає \ 2n^2 - n^2 - n + n -1 = n^{2} - 1.

Можна розглянути конкретні випадки, що буде зроблено у наступних розділах.


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי