Метрика та потенціал проти тензорів Вейля та напруженості

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Повернутися до розділу "Спін 2".

У розділах про електромагнітне та гравітаційне поля було показано, що результатом застосування формалізму про безмасові незвідні представлення групи Пуанкаре до теорій спіральностей 1, 2, які є інваріантними відносно дискретних перетворень групи Лоренца, є наступні рівняння на поля:

\ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0, \quad \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\nu}F_{\alpha \beta} = 0, \quad F_{\alpha \beta} = -F_{\beta \alpha},

\ \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\nu}C_{\epsilon \delta \alpha \beta} = 0, \quad C_{\mu \nu \alpha \beta} = -C_{\nu \mu \alpha \beta} = -C_{\mu \nu \beta \alpha} = C_{\nu \mu \beta \alpha}, \quad C^{\alpha}_{\ \beta \alpha \delta} = 0, \quad \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}C_{\mu \nu \alpha \beta} = 0.

Об'єкти \ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta}, як було показано у вищенаведених розділах, реалізують пряму суму представлень зі спіральностями відповідно 1, -1 і 2,-2. Фізично вони відповідають електромагнітному і лінеаризованому гравітаційному полям.

У тих же розділах (для випадку гравітаційного поля це показано тут) було показано, що від полів \ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta} можна перейти до полів \ A_{\mu}, h_{\mu \nu} відповідно. Початково вони мають більше ступенів вільності, ніж "материнські" поля, проте їх зв'язок із цими полями призводить до появи калібрувальних ступенів вільності, які можна зафіксувати, залишивши у цих полях лише дві ступені вільності. До тих же самих полів можна перейти, якщо виконати формальний перехід до \ m \to 0 відповідно масивних бозонів зі спіном 1 (рівняння Прока) і масивних бозонів зі спіном 2 (рівняння Паулі-Фірца).

Ці поля, втім, все одно в дійсності не реалізують безмасові представлення: у розділі про було показано, що поляризаційні вектори 4-потенціалу, а отже, і 4-потенціал не перетворюються по Лоренцу як 4-вектори: \ A_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}A_{\nu} + \partial_{\nu}\Omega , якщо вони представляють безмасові частинки (тобто, поляризаційні вектори перетворюються за малою групою безмасових імпульсів групи Пуанкаре). Повністю аналогічні викладки призводять до аналогічної проблеми із метричним тензором: \ h^{\mu \nu} \to \Lambda^{\mu}_{\ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \beta}h^{\alpha \beta} + c^{\mu}\Omega^{\nu} + d^{\nu}\Delta^{\mu}, і ця проблема зберігається навіть після накладання калібрувальних умов. Простіше кажучи, 4-векторним полем не можна описувати безмасові частинки спіральності 1, а 4-тензорним полем не можна описувати безмасові частинки спіральності 2.

Аналогічні твердження можуть бути зроблені про безмасові поля довільного спіну: спочатку маємо масивний об'єкт - симетричний, безслідовий і поперечний по всім індексам \ 2s+1-компонентний тензор \ F_{\mu_{1}...\mu_{s}} (якщо спін - напівцілий, доведеться використовувати спінорні представлення, що нічого складного, втім, не зробить). Якщо покласти масу рівною нулю, то рівняння Клейна-Гордона стане безмасовим, і поле \ F_{\mu_{1}...\mu_{s}} стане допускати набір калібрувальних перетворень, що не змінюють його властивостей. Ці перетворення будуть "вбивати" \ 2s-1 компонент, що залишить лише дві компоненти, як і повинно бути для безмасового поля ненульової спіральності, що інваріантне відносно дискретних симетрій групи Лоренца. Проте платою за такий простий спосіб побудови безмасових представлень являється нековаріантність поляризаційних векторів.

Проте ми, все ж таки, користуємося саме 4-потенціалом і метрикою для квантування полів безмасових частинок, і взаємодія вказаних полів із матерією будується не через "материнські" тензори, а через дочірні "об'єкти". Чому так можна робити і чому, взагалі, так варто робити? Відповіді на ці питання даються не зовсім тривіально.

Перше питання має корені у теорії взаємодій на мові матриці розсіяння. Буде показано, що всі процеси, пов'язані із електродинамікою, характеризуються амплітудою \ M_{\alpha \to \beta} = \int \varepsilon_{\lambda}^{\mu_{1}}(p_{1})...M_{\mu_{1}...}(p_{1},...), де \ M_{\mu_{1}...}(p_{1},...) задовольняє рівність \ p_{1}^{\mu_{1}}M_{\mu_{1}...}(p_{1}, ...) = 0. Це автоматично призводить до інваріантності відносно перетворень \ \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(p) \to \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(p) + c(p^{2})p_{\mu}. Це означає, що усі процеси, що побудовані на взаємодії матерії саме з полем \ A_{\mu}, є лоренц-інваріантними навіть незважаючи на нековаріантність 4-потенціалу. Повністю аналогічні викладки можуть бути пророблені із гравітаційним полем (я не торкаюсь тут проблеми перенормовності).

Друге питання має наступну відповідь. Якби усі поля матерії взаємодіяли б із полями \ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta}, то відповідні матричні елементи процесів вели б із енергією так, що це відповідало б взаємодії не \ \frac{1}{r^{2}}, а, наприклад, \ \frac{1}{r^{3}} і т.д. А природа влаштована так, що дальнодія електромагнітного та гравітаційного полів описується саме через закон обернених квадратів.

Частинки із старшими спіральностями, як показано у подальшому, не можуть взаємодіяти із жодним полем (принаймні, у м'якій границі - малих імпульсах частинок даних спіральностей, що випромінюються у процесах). Тому для них таке питання не стоїть, і можна розглядати "нормальне" коваріантне представлення.


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי