Лоренц-інваріантність, заряди, принцип еквівалентності

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

[ред.] Спін 1 і збереження заряду

Розглянемо зв'язну діаграму деякого процесу, який має зовнішні лінії, що відповідають зарядженим частинкам. Приєднаємо до однієї із вихідних зовнішніх ліній (що відповідає імпульсу \ p) фотонну лінію, причому фотон несе імпульс \ q \to 0. Тоді матричний елемент процесу домножиться на пропагатор частинки із імпульсом \ p + q і на вершинний фактор взаємодії цієї частинки із електромагнітним полем. Нехай далі \ q \to 0. Тоді для зарядженої частинки будь-якого спіну така модифікація матричного елементу зведеться до отримання множника

\ \frac{e p_{\mu}}{(p \cdot q) - i\varepsilon } \qquad (1)

(тут викинутий поляризаційний вектор для фотона).

Дійсно, наприклад, для частинки зі спіном \ \frac{1}{2} модифікація матричного елементу до переходу \ q \to 0 відповідає заміні вихідної функції \ \bar{u}^{\sigma '}(\mathbf p ) на

\ \bar{u}^{\sigma {'}}(\mathbf p )(-i(2 \pi )^{4}q_{e} \gamma^{\mu} )\left( \frac{-i}{(2 \pi )^{4}} \frac{\gamma^{\alpha}(p + q)_{\alpha} + m}{(p + q)^{2} - m^{2} - i\varepsilon }\right).

Нехай \ q \to 0. Тоді чисельник набуває вигляду \ \gamma^{\alpha}p_{\alpha} + m = \sum_{\sigma}u^{\sigma}(\mathbf p)\bar{u}^{\sigma}(\mathbf p ), і тоді маємо

\ \frac{\bar{u}^{s}(\mathbf p )\gamma^{\mu}u^{s'}(\mathbf p) \bar{u}^{s'}(\mathbf p)}{(q + p)^{2} - m^{2} +i\varepsilon} = |(q + p)^{2} - m^{2} +i\varepsilon = 2(q \cdot p) + i\varepsilon \to 2 [(q \cdot p) - i\varepsilon ]| = \frac{p^{\mu}\bar{u}^{s}(\mathbf p)}{(q \cdot p ) - i\varepsilon },

де використане співвідношення \ \bar{u}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}u_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'}.

Аналогічно і для будь-якої іншої зарядженої частинки: при \ q \to 0 4-імпульс \ p + q прямує до масової поверхні,чисельник пропагатора перетворюється у суми по поляризаціям, які перетворюють вершину взаємодії в \ p^{\mu}.

Далі, із розділу про полюсну структуру пропагатора видно, що поправки до пропагатора більш високих порядків на масовій поверхні вкладів у пропагатор не дають, тому вираз \ (1) є правильним в усіх порядках теорії збурень, і визначає випромінювання "м'якого" фотона зарядженою частинкою.

Аналогічно, якщо фотон випромінюється "вхідною" зарядженою частинкою, то замість \ (1) буде вираз \ -\frac{q_{e}p_{\mu}}{(p \cdot q) + i\varepsilon } (замість \ p буде \ p - q, звідси у знаменнику виникне мінус).

Звідси повна амплітуда випромінювання "м'якого" фотона визначається сумою вкладів типу \ (1):

\ M_{\beta \alpha \gamma} = M_{\beta \alpha}\sum_{n}\eta_{n}\frac{e_{n}p_{n}^{\mu}}{(p_{n} \cdot q) - i\eta_{n}\varepsilon }\varepsilon_{\mu} (q), \quad \eta_{n} = \pm 1.

Використаємо тепер той факт, що при перетвореннях Лоренца поляризаційний вектор фотона не перетворюється як 4-вектор:

\ \varepsilon_{\mu}(p) \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}\varepsilon_{\nu}(p) + cp_{\mu}.

Це означає, що для того, щоб процеси за участю фотонів були лоренц-інваріантними, має виконуватися рівність

\ \sum_{n}\frac{e_{n}\eta_{n}(p_{n} \cdot q)}{(p_{n} \cdot q)} = 0 \Rightarrow \sum_{n}e_{n}\eta_{n} = 0.

Це означає, що без додаткових припущень про калібрувальну інваріантність (а отже, вибором калібрування, роботи з пропагатором і т.д.) із умови лоренцевої інваріантності отриманий закон збереження електричного заряду.

[ред.] Спін 2 і принцип еквівалентності

Перейдемо тепер до аналогічного розгляду процесів із випромінюванням "м'яких" гравітонів. Нагадаю, що безмасове поле спіну 2 описується полем \ h_{\mu \nu} = h_{\nu \mu} із заданими умовами на нього (поперечність, безслідовість). Амплітуда таких процесів має загальний вигляд (тут \ \beta ' , \alpha ' означають додавання гравітона до \ \alpha чи \ \beta )

\ M_{\alpha ' \beta '} = M_{\alpha \beta} M^{\mu \nu}\varepsilon_{\mu \nu}(q) \qquad (2).

Використавши всі твердження із минулого підрозділу про фотони, отримуємо для \ q \to 0

\ M_{\alpha {'} \beta {'}} = M_{\alpha \beta}\sum_{n}M^{\mu \nu}_{n} \frac{\eta_{n}f_{n}}{(p_{n} \cdot q )}\varepsilon_{\mu \nu}(q).

Аналогічні до маніпуляцій із поляризаційним вектором ЕМ поля викладки із поляризаційним тензором гравітаційного поля (див. посилання на маніпуляції у попередньому підрозділі) показують, що при перетвореннях Лоренца поляризаційний тензор перетворюється як

\ \varepsilon_{\mu \nu}(p) \to \Lambda_{\mu}^{\ \alpha}\Lambda_{\nu}^{\ \beta}\varepsilon_{\alpha \beta} + c_{1}p_{\mu} p_{\nu} + (c_{2})_{\mu}p_{\nu} + (c_{3})_{\nu}p_{\mu} ,

де вигляд констант фіксується аналогічно до випадку із електромагнітним полем. Це (вимога лоренц-інваріантності) одразу потребує, щоб

\ q_{\mu}\sum_{n}M^{\mu \nu}_{n} \frac{\eta_{n}f_{n}}{(p_{n} \cdot q )} = 0 \qquad (3).

Тепер треба встановити загальний вигляд \ M^{\mu \nu}_{n} для поля довільного спіну. В силу того, що \ q у частинному випадку можна зробити ортогональним одному (!) \ p_{n} (і не ортогональним іншим), то у такому випадку маємо нульовий знаменник для \ n-того члену у сумі. Щоб цей доданок занулявся, треба, щоб \ M^{\mu \nu}_{n} = M^{\mu}p_{n}^{\nu}, в силу симетричності \ M^{\mu \nu}_{n} маємо, остаточно, \ M^{\mu \nu}_{n} = f_{n}(\sigma , \sigma {'}) p_{n}^{\mu}p_{n}^{\nu}, де \ f_{n}(\sigma , \sigma ') = \delta_{\sigma \sigma '}, як було показано у минулому розділі. Нарешті, в силу лоренц-інваріантності це справедливе для будь-яких \ q.

Тому маємо з \ (3)

\ \sum_{n} p^{\mu}_{n}\eta_{n}f_{n} = 0 \qquad (4).

В силу коваріантності всіх релятивістських процесів повинен зберігатися лише повний 4-імпульс. Звідси \ (4) вимагає, щоб для всіх частинок \ f_{n} = f. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняються від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності).

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

[ред.] Спін > 2 і нічого

Повністю аналогічно до попередніх результатів, можна отримати амплітуду переходу для випромінювання безмасової "калібрувальної" м'якої частинки спіральності s. Нагадаю, що, грубо кажучи, можна побудувати теорію вільного безмасового поля спіральності \ s спрямувавши до нуля масу відповідних об'єктів s-спінових масивних представлень. Тоді у початково \ 2s+1-компонентних об'єктах буде виникати калібрувальна довільність, що буде урізати \ 2s - 1 компонент. У випадку ж безмасових представлень для кожної спіральності доведеться будувати пряму суму представлень спіральностей \ s, -s окремо, що є дуже громіздким методом; як приклад, див. випадок ЕМ поля.

\ M_{\alpha ' \beta '} = M_{\alpha \beta}\sum_{n} \frac{\eta_{n}}{(p_{n} \cdot q )}p_{n}^{\mu_{1}}...p_{n}^{\mu_{s}}f_{n}\varepsilon_{\mu_{1}...\mu_{s}}.

В силу лоренц-інваріантності повинна виконуватися рівність

\ \sum_{n}\eta_{n}p_{n}^{\mu_{1}}...p_{n}^{\mu_{s - 1}}f_{n} = 0.

Проте ні одна така величина не може зберігатися без "заборони" на всі процеси розсіяння. Звідси слідує, що всі \ f_{n} у "м'якому" ліміті повинні бути рівними нулю. Тобто, не може бути частинок зі спіном більше двух, що являються переносниками взаємодії, яка спадає із відстанню як \ \frac{1}{|\mathbf x |^{2}}.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי