Зв'язні та сильнозв'язні діаграми

Матеріал з Maximovchinnikov.

Перейти до: навігація, пошук

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме звідні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно це виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Цьому присвячений підрозділ нижче.

Окрім того, у подальшому будуть важливими сильнозв'язні діаграми. Їм також присвячений даний розділ.

[ред.] Генеруюча функція для зв'язних діаграм

Виявляється, що функцією, яка генерує лише зв'язні діаграми, є \ W[J] = ln(Z[J]):

\ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) = (-i)^{n}\left(\frac{\delta }{\delta J(x_{1})}...\frac{\delta }{\delta J(x_{n})}W[J(y)]\right)_{J(y) = 0},

або ж

\ W[J] = \sum_{n} \frac{i^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}).

Доведення можна провести по індукції. Нехай розглядається випадок \ n = 2 (випадок \ n = 1 очевидний). Для нього

\ G_{2}(x, y) = -\left(\frac{\delta }{\delta J(x)}\frac{\delta }{\delta J(y)}W[J]\right)_{J(y) = 0} = -\frac{1}{Z}\frac{\delta^{2} Z[J(y)]}{\delta J(x) \delta J(y)} + \frac{1}{Z^{2}}\frac{\delta Z[J(x)]}{\delta J(x)} \frac{\delta Z[J(y)]}{\delta J(y)} = G_{2}(x, y) - G_{1}(x)G_{1}(y) = G_{2}^{conn}(x, y).

Ці вирази є базою індукції.

Нехай тепер розглядається загальний випадок \ k. Відповідно до визначення зв'язної діаграми, функцію \ G_{k}(x_{1},...,x_{k}) можна представити у вигляді

\ G_{k}(x_{1},...,x_{k}) = G^{conn}_{k}(x_{1},...,x_{k}) + \sum_{n}\left[ \prod_{\sigma} G^{conn}_{\sigma}\right] \qquad (8).

Тут другий доданок позначає усі можливі добутки зв'язних діаграм для порядку \ k. Наприклад, для \ k  = 3

\ G_{3}(x_{1},x_{2}, x_{3}) = G_{3}^{conn}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) + G_{2}^{conn}(x_{1}, x_{2})G_{1}(x_{3}) + G^{conn}_{2}(x_{1}, x_{3})G_{1}(x_{2}) + G^{conn}_{2}(x_{2}, x_{3})G_{1}(x_{1}) + G_{1}(x_{1})G_{1}(x_{2})G_{1}(x_{3}).

З іншого боку,

\ i^{k}G_{k}(x_{1},...x_{k}) = \left(\frac{1}{Z[J(y)]}\frac{\delta^{k}Z[J(y)]}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{k})}\right)_{J(y) = 0} + \sum_{n} \left[\prod_{x_{1},...x_{l}}\left(\frac{1}{Z[J(y)]}\frac{\delta^{l}Z[J(y)]}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{l})}\right)_{J(y) = 0} \right] =

\ = \left(\frac{\delta^{k}ln\left(Z[J(y)]\right)}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{k})}\right)_{J(y) = 0} + \sum_{n} \left[\prod_{x_{1},...x_{l}}\left(\frac{\delta^{l}ln\left(Z[J(y)]\right)}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{l})}\right)_{J(y) = 0} \right],

і, за припущенням індукції,

\ i^{k}G_{k}(x_{1},...x_{k}) = \left(\frac{\delta^{k}ln\left(Z[J(y)]\right)}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{k})}\right)_{J(y) = 0} + \sum_{n} \left[\prod_{x_{1},...x_{l}}i^{l}G_{l}^{conn}(x_{1},...,x_{l}) \right] \Rightarrow

\ \Rightarrow G_{k}(x_{1},...x_{k}) = (-i)^{k}\left(\frac{\delta^{k}ln\left(Z[J(y)]\right)}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{k})}\right)_{J(y) = 0} + \sum_{n} \left[\prod_{x_{1},...,x_{l}}G_{l}^{conn}(x_{1},...,x_{l}) \right].

Порівнюючи цей вираз із виразом \ (8), можна отримати, що

\ G_{k}^{conn}(x_{1}, ..., x_{k}) = (-i)^{k}\left(\frac{\delta^{k}ln\left(Z[J(y)]\right)}{\delta J(x_{1})...\delta J(x_{k})}\right)_{J(y) = 0},

що й треба було довести.

[ред.] Сильнозв'язні діаграми

Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки \ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом \ Z[J] незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:

\ \Phi (x) = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \frac{1}{Z[J]}\frac{\delta Z[J]}{\delta J(x)} = \frac{i}{Z[J]}\langle | \hat {N}\varphi (x)e^{i\int d^{4}x (L_{i}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x) )}|\rangle.

Із визначення (див. підпункт вище), \ \Phi (x) є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела \ J(x). Якщо джерело \ J(x) відсутнє, то \ \Phi (x) = 0. Через це можна представити \ \Phi (x) як

\ \Phi (x) = -\int d^{4}yW_{2}(x, y)J(y) + O(J^{2}) \qquad (9),

що формально означає, що як \ \Phi (x) можна розкладати по \ J, так і навпаки.

Визначимо тепер перетворення Лежандра,

\ \Gamma [\Phi ] = W - \int d^{4}x\Phi (x)J(x) = \sum_{n}\frac{i^{n}}{n!} \int \Gamma_{n}(x_{1}...x_{n})\Phi (x_{1})...\Phi (x_{n}),

і з виразу для цього функціоналу слідує, що

\ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (x)} = \int d^{4}y \frac{\delta W}{\delta J(y)}\frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)} - \int d^{4}y \frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)}\Phi (y) - J(x) =\left| \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \Phi (x)\right| = -J(x).

Далі наведений набір стандартних співвідношень.

\ \frac{\delta \Phi (x)}{\delta J(y)} = \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)} = W_{yx}, \quad \frac{\delta J(x)}{\delta \Phi (y)} = -\frac{\delta^{2} \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (y)\delta \Phi (x)} = -\Gamma_{yx}.

Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):

\ \frac{\delta}{\delta J(x)} = \delta^{J}_{y} = \int d^{4}y \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)}\delta^{\Phi}_{y} = W_{yx}\delta^{\Phi}_{y}, \quad \frac{\delta}{\delta \Phi (x)} = \delta^{\Phi}_{x} = -\Gamma_{xy}\delta^{J}_{y} \qquad (10).

З цього правила слідує, що

\ \delta (x - y) = \frac{\delta \Phi (x)}{\delta \Phi (y)} = -\Gamma_{yz}\delta^{J}_{z}\Phi (x) = -\Gamma_{yz}W_{zx} \qquad (11),

що каже про те, що \ \Gamma_{yz}, W_{zx} є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх \ J(x):

\ \int d^{4}z\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = -\delta (x - y).

Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):

\ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z e^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = \int d^{4}z\Gamma_{2}(p_{y}, z)W_{2}(z, p_{x}) = |\Gamma_{2}(p_{y}, z) = \int d^{4}p_{z}e^{ip_{z}z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})| =

\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) \int d^{4}ze^{ip_{z}z}W_{2}(z, p_{x}) =  \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) =_{right}= -\int d^{4}xd^{4}ye^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\delta (x - y) = -\delta (p_{x} + p_{y}).

Тепер треба згадати, що величини \ \Gamma_{n}, W_{m} являються генеруючими елементами для діаграм \ S-матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,

\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) = |\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) = \delta (p_{y} + p_{z})\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})| = \Gamma_{2}(p_{y}, -p_{y})W_{2}(p_{y}, p_{x}) = -\delta (p_{x} + p_{y}).

А оскільки \ W_{2}(p_{y}, p_{x}) пропорційне \ \delta (p_{x} + p_{y}), то маємо

\ \Gamma_{2}(p, -p)W_{2}(p, -p) = -1.

Враховуючи тепер, що \ W_{2} відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як

\ W_{2}(p, -p) = \frac{-i}{p^{2} - m^{2} - \Eta (p)}.

Звідси

\ \Gamma_{2}(p, -p) = i(p^{2} - m^{2} - \Eta (p)).

Залишається лише показати, що \ \Eta (p) відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти \ W_{2} в ряд по \ \Eta (p):

\ W_{2}(p, -p) = -i \left( \frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + ...\right).

Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що \ \Gamma_{2}(p, -p) генерує незв'язні діаграми.

Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну \ \frac{\delta }{\delta J(u)} = \delta_{u}^{J} від \ (11), користуючись \ (10): отримаємо

\ 0 = \delta_{u}^{J}(\Gamma_{yz}W_{zx}) = -W_{zx}\delta_{u}^{J}\Gamma_{yz} - \Gamma_{yz}\delta_{u}^{J}W_{zx} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{up}\delta_{p}^{\Phi}\Gamma_{yz} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{uv} \Gamma_{vyz}.

Звідси отримуємо, що \ W_{uzx} = W_{xt}W_{uv}W_{yz}\Gamma_{vty}. Дійсно, при \ J = \Phi = 0 маємо

\ \int d^{4}zd^{4}vW_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyz} = -\int d^{4}vd^{4}\tau d^{4}zd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}W_{\tau z}\Gamma_{yz} = \left| \int d^{4}z\Gamma_{yz}W_{\tau z} = -\delta (y - \tau )\right| = \int d^{4}v d^{4}t d^{4}\tau W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}\delta (y - \tau ) = \int d^{4}vd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyt},

тобто, отримана рівність.

Це означає, що \ W_{uzx} являє собою ядро \ \Gamma_{vty}, до якого прикріплені три зв'язні двохвістки \ W_{xt}, W_{uv}, W_{yz}; іншими словами, \ \Gamma_{vty} - сильнозв'язне ядро.

Аналогічним чином доводиться, що всі ядра \ \Gamma відповідають сильнозв'язним діаграмам.


Особисті інструменти

sl
דומיין בעברית  דומיין  דומין  תוכנה לניהול  קשרי לקוחות  CRM, ניהול קשרי לקוחות  דומין בעברית  פורומים  ספרדית  גיבוי